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Construire un arbre pondéré

mercredi 26 avril 2017, par Neige

Méthode

Il est très utile de construire un arbre pondéré pour résoudre un problème de probabilités conditionnelles. Cela permet de donner un caractère visuel à des calculs parfois un peu théoriques. Les règles de construction d’un arbre sont assez simples.

Mais tout d’abord, voici un rappel du vocabulaire de base relatif à un arbre (cliquez sur la miniature) :

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Dans le cadre des exercices de probabilités conditionnelles, on place des évènements sur les noeuds (donc aussi sur les feuilles) et des probabilités sur les branches.

Exemple typique.
On considère deux évènements $A$ et $B$ et on note $\bar{A}$ et $\bar{B}$ les évènements contraires. Voici les deux arbres que l’on peut construire à partir de ces informations :

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On remarque que sur les branches issues de la racine, on écrit la probabilité de l’évènement sur lequel la branche arrive (en lisant de gauche à droite).
Attention, sur les branches issues d’un autre noeud, on écrit la probabilité de l’évènement sur lequel la branche arrive sachant que l’évènement depuis lequel la branche commence est réalisé. C’est donc une probabilité conditionnelle.

Les deux arbres précédents sont corrects. Toutefois, lorsqu’un énoncé demande de construire un arbre, il faut choisir l’un des deux. Comment faire ? C’est simple : on choisit l’arbre sur lequel on peut placer le plus grand nombre d’informations numériques données dans l’énoncé.
(À ce sujet, il est impératif d’avoir compris la méthode : Traduire un texte dans le langage des probabilités).

Une propriété très importante lorsqu’on construit un arbre : la somme des probabilités des branches issues d’un même noeud doit valoir 1.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    On considère deux évènements $A$ et $B$ et on note $\bar{A}$ et $\bar{B}$ les évènements contraires.

1. On donne les informations suivantes : $p(A)=0,8$, $p_A(B)=0,7$ et $p_\bar{A}(\bar{B})=0,4$.
Construire un arbre avec un maximum d’informations.

2. On oublie les informations de la question précédente et on en donne de nouvelles : $p_B(A)=0,9$, $p(B)=0,65$ et $p_\bar{B}(A)=0,15$.
Construire un arbre avec un maximum d’informations.

Voir la solution

1. Comme l’énoncé fournit $p(A)=0,8$ ainsi que des probabilités « sachant $A$ » ou « sachant $\bar{A}$ », les premières branches issues de la racine aboutiront aux évènements $A$ et $\bar{A}$.
Par la suite, il suffit de renseigner les probabilités données dans l’énoncé puis d’utiliser le fait que la somme des probabilités des branches issues d’un même noeud doit valoir 1. D’où l’arbre :

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2. Cette fois, l’énoncé fournit $p(B)=0,65$ ainsi que des probabilités « sachant $B$ ou « sachant $\bar{B}$ », les premières branches issues de la racine aboutiront aux évènements $B$ et $\bar{B}$. D’où l’arbre :

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  • Niveau moyen (d’après Bac)
    Une boîte de jeu est constituée de questions portant sur les deux thèmes « Cinéma » ou « Musique ».
    Cette boîte contient un tiers de questions portant sur le thème « Cinéma », les autres portant sur le thème « Musique ».
    Le candidat à ce jeu s’appelle Pierre.
    On pose à Pierre une question choisie au hasard dans la boîte et on sait que :
    — La probabilité que Pierre réponde correctement à une question du thème « Cinéma » est égale à $\frac{1}{2}$.
    — La probabilité que Pierre réponde correctement une question du thème « Musique » est égale à $\frac{3}{4}$.
    On considère les évènements suivants :
    C : la question porte sur le thème « Cinéma »,
    M : la question porte sur le thème « Musique »,
    E : Pierre répond correctement à la question posée.

Construire un arbre représentant la situation.

Voir la solution

D’après l’énoncé, $p(C)=\frac{1}{3}$, $p(M)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$, $p_C(E)=\frac{1}{2}$ et $p_M(E)=\frac{3}{4}$.
Remarque : ici, $M=\bar{C}$.
On peut donc construire l’arbre suivant :

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  • Niveau moyen (d’après Bac)
    Une usine d’emballage de pommes est approvisionnée par trois producteurs. Le premier producteur fournit 70% de l’approvisionnement de cette usine, le reste étant également partagé entre le deuxième producteur et le troisième.
    Avant d’être emballées, les pommes sont calibrées par une machine pour les trier selon leur diamètre. Les pommes dont le diamètre est conforme aux normes en vigueur sont emballées, les autres, dites « hors calibre », sont rejetées.
    Il a été constaté que 20% des pommes fournies par le premier producteur sont hors
    calibre, 5% des pommes fournies par le second producteur sont hors calibre et 4% des pommes fournies par le troisième producteur sont hors calibre.
    Chaque jour les pommes livrées par les différents producteurs sont entreposées dans le même hangar. Pour l’étude du problème qui suit, on convient qu’elles sont
    bien mélangées.
    Un contrôle de qualité sur les pommes est effectué de la manière suivante : un contrôleur choisit de manière aléatoire une pomme dans ce hangar, puis mesure son diamètre pour déterminer si elle est de « bon calibre » ou « hors calibre ».
    Un mercredi matin, un contrôle de qualité est effectué par le contrôleur de la manière décrite ci-dessus.
    On appellera F1 l’évènement : « la pomme prélevée provient du premier producteur
     »
    F2 l’évènement : « la pomme prélevée provient du deuxième producteur »
    F3 l’évènement : « la pomme prélevée provient du troisième producteur »
    C l’évènement : « la pomme prélevée a un bon calibre ».

Construire un arbre représentant la situation.

Voir la solution

D’après l’énoncé, $p(F1)=0,7$. Il reste 30% à partager équitablement entre le deuxième et le troisième producteur donc $p(F2)=0,15$ et$p(F3)=0,15$.
De plus, $p_{F1}(\bar{C})=0,2$, $p_{F2}(\bar{C})=0,05$ et $p_{F3}(\bar{C})=0,04$.
On peut donc construire l’arbre suivant :

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Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :
(Exercice publié prochainement)

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