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Amérique du Sud, Novembre 2016 - Exercice 3 (non spé)

dimanche 11 décembre 2016, par Neige

Amérique du Sud, Novembre 2016.
5 points - 45 minutes.
Thèmes abordés : pourcentages d’évolution, suites (géométriques), algorithmes.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Le gérant d’un hôtel situé dans la ville de Lyon étudie la fréquentation de son établissement afin de prévoir au mieux son budget pour les années futures.

Le 5 décembre 1998, le site historique de Lyon a été inscrit au patrimoine mondial de l’UNESCO et l’hôtel a vu son nombre de clients augmenter significativement comme l’indique le tableau ci-dessous :

Année 1997 1998 1999 2000
Nombre de clients 950 1105 2103 2470


1. Déterminer le pourcentage d’augmentation du nombre de clients entre 1997 et 2000.

Relire la méthode : Calculer un pourcentage d’évolution.

Voir la solution

Il suffit d’appliquer la formule : $\frac{V_{a}-V_{d}}{V_{d}}$, c’est à dire ici : $\frac{2470-950}{950}=1,6$.
Le nombre de clients a augmenté de 160% entre 1997 et 2000.

Erreur fréquente nº1 : penser que $1,6=1,6\%$ ou encore $1,6=16\%$.
En réalité, le symbole % signifie "divisé par 100".
Par conséquent, $1,6\%=1,6:100=0,016$ alors que $160\%=160:100=1,6$.
En résumé, lorsqu’on veut convertir un nombre en pourcentage, il suffit de le multiplier par 100 et de rajouter le symbole % (ce qui permet d’écrire une égalité).
Exemple : $0,08=8\%$ ou encore $-8,2=-820\%$

Erreur fréquente nº2 : penser que le calcul correct est : $\frac{V_{a}}{V_{d}}=\frac{2470}{950}=2,6=260\%$.
Le quotient $\frac{V_{a}}{V_{d}}$ est le coefficient multiplicateur permettant de passer de $V_{d}$ à $V_{a}$. Le résultat obtenu ($260\%$) signifie que la valeur d’arrivée $V_{a}$ représente $260\%$ de la valeur de départ $V_{d}$. Pour obtenir le pourcentage d’évolution, il est nécessaire de soustraire $100\%$.

Par ailleurs, depuis le 1er janvier 2000, une étude statistique a permis de mettre en évidence que, chaque année, l’hôtel compte 1200 nouveaux clients et que 70% des clients de l’année précédente reviennent.
On modélise cette situation par une suite $(u_{n})$ où $u_{n}$ représente le nombre total de clients de l’hôtel durant l’année $2000+n$. On a ainsi $u_{0}=2470$ et, pour tout entier naturel n, on a $u_{n+1}=0,7u_{n}+1200$.


2. Déterminer le nombre total de clients durant l’année 2001.

Relire la méthode : Calculer les premiers termes d’une suite.

Voir la solution

$u_{n}$ représente le nombre total de clients de l’hôtel durant l’année $2000+n$. On cherche donc à caluler $u_{1}$.
On sait que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,7u_{n}+1200$.
On utilise cette formule pour $n=0$ et on obtient : $u_{0+1}=0,7u_{0}+1200$ c’est à dire, $u_{1}=0,7\times2470+1200=2929$.
En 2001, le nombre total de clients est de 2929.
Erreur fréquente : penser que $u_{0+1}=u_{0}+1$ donc $u_{1}=2930$.
Attention : le +1 en indice ne peut pas "remonter". Il faut bien différencier le niveau de la ligne d’écriture et le niveau des indices (un petit peu en dessous).
Si vous ne comprenez pas cette erreur, vous pouvez utiliser la notation "fonction" (autorisée pour les suites). On obtient alors d’une part $u(0+1)$ et d’autre part $u(0)+1$ (ce qui est différent en général).


3. Le gérant de l’hôtel souhaite déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de clients annuel dépassera 3 900.
Indiquer, en justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l’année correspondante.

Algorithme 1Algorithme 2
U prend la valeur 2470
N prend la valeur 0
Tant que U<3900
  U prend la valeur 0,7×U+1200
  N prend la valeur N+1
Fin tant que
Afficher 2000+N
U prend la valeur 2470
N prend la valeur 0
Tant que U>3900
  U prend la valeur 0,7×U+1200
  N prend la valeur N+1
Fin tant que
Afficher 2000+N
Algorithme 3
U prend la valeur 2470
N prend la valeur 0
Tant que U<3900
   U prend la valeur 0,7×U+1200
   N prend la valeur N+1
Fin tant que
Afficher U

Relire la méthode : Faire "tourner" un algorithme.

Voir la solution

L’énoncé nous permet de comprendre qu’à partir d’une certaine année, le nombre de clients va dépasser 3900 (alors qu’en l’an 2000, il est seulement de 2470).
- L’algorithme 2 ne convient pas. En effet, on n’entre jamais dans la boucle Tant que puisque la condition U>3900 n’est pas vérifiée au départ (U=2470).
- L’algorithme 3 ne convient pas puisqu’il affiche non pas l’année mais le nombre de clients U.
- L’algortihme 1 est donc celui qui convient.
Remarque : on peut aussi justifier en faisant "tourner" les algorithmes (mais c’est un peu plus long) :

Algorithme 1
$U=2470 \\ N=0$
$U$ est bien inférieur à $3900$, on entre dans le "Tant que" :
$U=0,7×2470+1200=2929$
$N=1$
$U$ est bien inférieur à $3900$, on entre dans le "Tant que" :
$U=0,7×2929+1200 \approx3250$
$N=2$
$U$ est bien inférieur à $3900$, on entre dans le "Tant que" :
$U\approx0,7×3250+1200 \approx3475$
$N=3$
$U$ est bien inférieur à $3900$, on entre dans le "Tant que" :
$U\approx0,7×3475+1200 \approx3633$
$N=4$
$U$ est bien inférieur à $3900$, on entre dans le "Tant que" :
$U\approx0,7×3633+1200 \approx3743$
$N=5$
$U$ est bien inférieur à $3900$, on entre dans le "Tant que" :
$U\approx0,7×3743+1200 \approx3820$
$N=6$
$U$ est bien inférieur à $3900$, on entre dans le "Tant que" :
$U\approx0,7×3820+1200 \approx3874$
$N=7$
$U$ est bien inférieur à $3900$, on entre dans le "Tant que" :
$U\approx0,7×3874+1200 \approx3912$
$N=8$
$U$ est supérieur à $3900$, on n’entre pas dans le "Tant que"
On affiche $2008$.

Cet algorithme fonctionne.
Algorithme 2
$U=2470 \\ N=0$
$U$ est inférieur à $3900$, on n’entre pas dans le "Tant que"
On affiche $2000$.

Cet algorithme ne fonctionne pas.
Algorithme 3
Même chose que l’algorithme 1 sauf qu’à la fin, on affiche $3912$ (le nombre de visiteurs au lieu de l’année).

Cet algorithme ne répond pas à la question.

Conseil : il faut toujours commencer à faire "tourner" l’algorithme à la main.


4. On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=u_{n}-4000$.

a. Montrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q=0,7$ et préciser le premier terme.

Relire la méthode : Montrer qu’une suite est géométrique.

Voir la solution

Soit $n$ un entie rnaturel.
$v_{n+1}=u_{n+1}-4000$ (car d’ après l’énoncé de la question 4, $v_{n}=u_{n}-4000$)
$v_{n+1}=0,7\times u_{n}+1200-4000 \\ \qquad =0,7\times u_{n}-2800 \\ \qquad =0,7\times(u_{n}-4000) \\ \qquad =0,7\times v_{n}$
On en déduit que $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,7.
Son premier terme est $v_{0}=u_{0}-4000=-1530$.

Erreur fréquente : penser que l’on peut directement écrire $v_{n+1}=0,7\times v_n$.
En réalité, il s’agit de démontrer cette égalité à l’aide d’un raisonnement. On ne peut donc pas l’écrire dès le début.

Conseil : à chaque étape, on peut réfléchir à "ce que nous fournit l’énoncé" et "ce à quoi nous voulons arriver".

b. Exprimer $(v_{n})$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.

Relire la méthode : Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique .

Voir la solution

Comme $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,7 et de premier terme -1530, alors pour tout entier naturel $n$, $v_{n}=-1530\times0,7^{n}$.

c. Justifier que $u_{n}=4000-1530\times0,7^{n}$ pour tout entier naturel $n$.

Voir la solution

D’ après l’énoncé de la question 4, $v_{n}=u_{n}-4000$. Par conséquent, $u_{n}=v_{n}+4000$.
Donc pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=4000-1530\times0,7^{n}$.

Conseil : bien remarquer quels sont les liens qui unissent $u_n$ et $v_n$. Ici, le seul lien est la relation $v_{n}=u_{n}-4000$.

d. Déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de clients a dépassé 3900.

Relire la méthode : Déterminer un rang sous condition.

Voir la solution

Si on a fait fonctionner l’algorithme 1 dans la question 3, on peut tout de suite répondre que le nombre de client dépasse 3900 à partir de l’année 2008.
Sinon, on peut résoudre une inéquation :
$u_{n}>3900\Leftrightarrow4000-1530\times0,7^{n}>3900 \\ \qquad \Leftrightarrow -1530\times0,7^{n}>-100 \\ \qquad \Leftrightarrow 0,7^{n}<\frac{-100}{-1530} \\ \qquad \Leftrightarrow n\times \ln(0,7)<\ln(\frac{100}{1530}) \\ \qquad \Leftrightarrow n>\frac{\ln(\frac{100}{1530})}{\ln(0,7)} \\ $
Comme $\frac{\ln(\frac{100}{1530})}{\ln(0,7)}\approx7,65$ alors $n=8$ et le nombre de client dépasse 3900 à partir de l’année 2008.

Conseil : si vous êtes perdus le jour du Bac, vous pouvez toujours chercher la valeur de $n$ par tâtonnement à l’aide de la calculatrice.


5. À long terme, déterminer le nombre de clients que le gérant de l’hôtel peut espérer avoir chaque année.

Relire la méthode : Calculer la limite d’une suite géométrique.

Voir la solution

Comme $0<0,7<1$ alors $\lim 0,7^{n}=0$ et, par conséquent, $\lim 4000-1530\times0,7^{n}=4000$.
A long terme, le gérant de l’hôtel peut espérer avoir 4000 client chaque année.

Conseil : si vous êtes perdus le jour du Bac, vous pouvez toujours remplacer $n$ par un grand nombre à la calculatrice afin de "deviner" la limite.

C’est terminé !

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