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Etudier les variations d’une suite par différence

samedi 1er avril 2017, par Neige

Il existe de nombreuses méthodes pour étudier le sens de variation d’une suite.
La méthode exposée ici est une méthode générale d’étude de variations, particulièrement intéressante lorsque la suite à étudier ne fait pas partie des suites "connues" (arithmétique ou géométrique) en classe de Terminale ou bien lorsqu’on n’a pas vraiment d’idées.

Méthode

Il existe de nombreuses méthodes pour étudier le sens de variation d’une suite.
La méthode exposée ici est une méthode générale d’étude de variations, particulièrement intéressante lorsque la suite à étudier ne fait pas partie des suites "connues" (arithmétique ou géométrique) en classe de Terminale ou bien lorsqu’on n’a pas vraiment d’idées.

Voici son prinicipe.
On considère une suite $(u_n)$.
Il s’agit d’étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ pour tout entier $n$.

  • Si $u_{n+1}-u_n \geq 0$, alors $(u_n)$ est croissante.
  • Si $u_{n+1}-u_n \leq 0$, alors $(u_n)$ est décroissante.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=-2$ et pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n+1}=n+u_n+6$.
    Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.
Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$u_{n+1}-u_n=(n+u_n+6)-u_n \\ \qquad \qquad =n+6$
Comme $n \geq 0$ alors $n+6 \gt 0$.
On en déduit que la suite $(u_n)$ est croissante (et même strictement croissante).

  • Niveau facile
    On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n}=-n^2-n+2$.
    Calculer $u_{n+1}-u_n$ puis en déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$u_{n+1}-u_n=\left(-(n+1)^2-(n+1)+2\right)-\left(-n^2-n+2\right) \\ \qquad \qquad =\left(-(n^2+2n+1)-n-1+2\right)-\left(-n^2-n+2\right) \\ \qquad \qquad =\left(-n^2-2n-1-n+1\right)-\left(-n^2-n+2\right) \\ \qquad \qquad =\left(-n^2-3n\right)-\left(-n^2-n+2\right) \\ \qquad \qquad =-n^2-3n+n^2+n-2 \\ \qquad \qquad =-2n-2$
Comme $n \geq 0$ alors $-2n-2 \lt 0$.
On en déduit que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

  • Niveau moyen
    On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_{n}=3\times 1,2^{n-1}+4n-5$.
    Calculer $v_{n+1}-v_n$ puis en déduire le sens de variation de la suite $(v_n)$.
Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1}-v_n=\left(3\times 1,2^{n+1-1}+4(n+1)-5)\right)-\left(3\times 1,2^{n-1}+4n-5\right) \\ \qquad \qquad =3\times 1,2^n+4n+4-5-3\times 1,2^{n-1}-4n+5 \\ \qquad \qquad =3\times 1,2^n-3\times 1,2^{n-1}+4 \\ \qquad \qquad =3\times (1,2^n-1,2^{n-1})+4 \\ \qquad \qquad =3\times (1,2^{n}-1,2^{n}\times 1,2^{-1})+4 \\ \qquad \qquad =3\times 1,2^{n}\times (1-1,2^{-1})+4 \\ \qquad \qquad =3\times 1,2^{n}\times \frac{1}{6}+4 \\ \qquad \qquad =0,5\times 1,2^{n}+4$
Comme $1,2^{n} \gt 0$ alors, par produit par 0,5 puis par somme avec 4, $0,5\times 1,2^{n}+4 \gt 0$.
Par conséquent, $v_{n+1}-v_n \gt 0$ et la suite $(v_n)$ est strictement croissante.

  • Niveau moyen
    On appelle $b_n$ le nombre de millions de bactéries présentes dans quelques gouttes d’eau (l’expérience a lieu en laboratoire) au bout de $n$ heures. On sait que la suite $(b_n)$ est définie par $b_0=2$ et pour tout entier naturel $n$ par : $b_{n+1}=b_n^2-b_n+1$.
    Montrer que le nombre de bactéries croît au cours du temps .
Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$b_{n+1}-b_n=(b_n^2-b_n+1)-b_n \\ \qquad \qquad =b_n^2-2b_n+1$
On reconnaît une identité remarquable.
En effet, $(b_n-1)^2=b_n^2-2b_n+1$.
Par conséquent, $b_{n+1}-b_n=(b_n-1)^2$.
Comme un carré est toujours positif alors $b_{n+1}-b_n \geq 0$ et on peut conclure que la suite $(b_n)$ est croissante.
Le nombre de bactéries croît au cours du temps.

  • Niveau difficile
    On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n+1}=16u_n-50-u_n^2$.
    On sait, de plus, que pour tout entier naturel $n$, $u_n \lt 5$.
    Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.
Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$u_{n+1}-u_n=16u_n-50-u_n^2-u_n \\ \qquad \qquad =-u_n^2+15u_n-50$
On considère le polynôme $-x^2+15x-50$.
Déterminons son signe. Pour cela, on calcule tout d’abord ses racines.
$\Delta=15^2-4\times (-1)\times (-50)=25=5^2$
Par conséquent, ce polynôme admet 2 racines : $x_1=\frac{-15-5}{-2}=10$ et $x_2=\frac{-15+5}{-2}=5$.
On en déduit que si $x \lt 5$, alors $-x^2+15x-50 \lt 0$.
Appliquons ce résultat pour $x=u_n$ :
si $u_n \lt 5$, alors $-u_n^2+15u_n-50 \lt 0$.
D’après l’énoncé, $u_n \lt 5$.
Par conséquent, $u_{n+1}-u_n \lt 0$ et la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

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