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Métropole, Septembre 2016 - Exercice 3 (non spé)

dimanche 5 février 2017, par Neige

Métropole, Septembre 2016 - Exercice 3 (réservé aux non spécialistes).
5 points - 45 minutes
Thèmes abordés : suites (géométriques).

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Le 31 décembre 2015 une forêt comportait 1 500 arbres. Les exploitants de cette forêt prévoient que chaque année, 5 % des arbres seront coupés et 50 arbres seront plantés.
On modélise le nombre d’arbres de cette forêt par une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est le nombre d’arbres au 31 décembre de l’année $(2015+n)$.
Ainsi $u_0 = 1500$.

Partie A


1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

Relire la méthode : Appliquer un pourcentage d’évolution.

Voir la solution

Comme 5 % des arbres sont coupés, cela signifie que le nombre d’arbres diminue de 5 %. Or une baisse de 5 % du nombre d’arbres revient à multiplier ce nombre par 0,95.
$u_0\times 0,95=1500\times 0,95=1425$.
De plus, 50 arbres sont plantés.
Donc $u_1=1425+50=1475$.
Le même raisonnement s’applique pour le calcul de $u_2$ :
$u_1\times 0,95=1475\times 0,95=1401$.
Donc $u_2=1401+50=1451$.


2. Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,95×u_n +50$.

Relire la méthode : Traduire un énoncé par une relation de récurrence.

Voir la solution

Grâce à l’énoncé, on peut construire le schéma suivant (cliquer dessus pour l’agrandir) :

Comme réduire une quantité de 5 % revient à la multiplier par 0,95, on peut écrire que our tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,95×u_n +50$.


3. On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n −1000$.

a. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. En préciser la raison et le premier terme

Relire la méthode : Montrer qu’une suite est géométrique.

Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1} = u_{n+1} −1000$ d’après l’énoncé.
$\qquad = (0,95u_n+50) −1000$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression.
$\qquad = 0,95u_n-950$
$\qquad = 0,95(u_n-1000)$ en factorisant par 0,95.
$\qquad = 0,95\times v_n$
Par ailleurs, $v_0=u_0-1000=500$.
On en déduit que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme $v_0=500$.

b. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 1000+500×0,95^n$.

Relire la méthode : Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique .

Voir la solution

La question précédente a permis d’établir que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme $v_0=500$.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $v_n=500\times 0,95^n$.
Comme, d’après l’énoncé, $v_n = u_n −1000$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 1000+v_n=1000+500\times 0,95^n$.

c. En déduire le nombre d’arbres prévisibles dans cette forêt le 31 décembre 2030.

Voir la solution

On dispose désormais d’une formule explicite pour la suite $(u_n)$.
Par conséquent, pour calculer le nombre d’arbres prévisibles dans cette forêt le 31 décembre 2030, il suffit de déterminer la valeur de $n$ correspondant à cette date.
Or, $u_n$ est le nombre d’arbres au 31 décembre de l’année $2015+n$. Donc $n=15$ (car $2015+15=2030$).
On applique alors la formule établie à la question précédente pour $n=15$ :
$u_{15}=1000+500\times 0,95^{15}\approx 1232$.
On peut estimer à 1232 le nombre d’arbres dans cette forêt le 31 décembre 2030.


Partie B

Les arbres coupés dans cette forêt sont utilisés pour le chauffage. Le prix d’un stère de bois (unité de volume mesurant le bois) augmente chaque année de 3 %.
Au bout de combien d’années le prix d’un stère de bois aura-t-il doublé ?

Relire les méthodes : Appliquer un pourcentage d’évolution puis Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique et enfin Déterminer un rang sous condition.

Voir la solution

On appelle $P$ le prix d’un stère de bois en 2015 et on cherche l’année à partir de laquelle le prix d’un stère de bois vaut $2\times P$.
On appelle alors $w_n$ le prix d’un stère de bois à l’année $2015+n$. Ainsi, $w_0=P$.
Comme d’une année à l’autre, le prix augmente de 3 %, cela revient à le multiplier par 1,03. Autrement dit, pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}=w_n\times 1,03$.
Par conséquent, $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $w_0=P$.
On en déduit que pour tout entier naturel $n$, $w_n=P\times 1,03^n$.
Chercher le nombre d’années au bout desquelles le prix aura doublé revient à résoudre l’inéquation $w_n > 2\times P$.
$w_n > 2\times P\Leftrightarrow P\times 1,03^n > 2\times P \\ \qquad \Leftrightarrow 1,03^{n} > 2 \\ \qquad \Leftrightarrow n\times \ln(1,03) > \ln(2) \\ \qquad \Leftrightarrow n > \frac{\ln(2)}{\ln(1,03)} \\ $
Comme $\frac{\ln(2)}{\ln(1,03)}\approx 23,45$ alors $n=24$ et le prix d’un stère de bois aura doublé au bout de 24 ans.

C’est terminé !

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