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Nouvelle Calédonie, Novembre 2016 - Exercice 2 (non spé)

mardi 24 janvier 2017, par Neige

Nouvelle Calédonie, Novembre 2016 - Exercice 2 (réservé aux non spécialistes).
5 points - 45 minutes.
Thèmes abordés : suites (géométriques), algorithmes.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Partie A
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=350$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,5u_n+100$.


1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

Relire la méthode : Calculer les premiers termes d’une suite.

Voir la solution

On utilise la relation $u_{n+1}=0,5u_n+100$ pour $n=0$. On obtient alors :
$u_{0+1}=0,5u_0+100 \\ u_{1}=0,5u_0+100 \\ \qquad =0,5\times 350+100 \\ \qquad =275$

On utilise de nouveau la relation $u_{n+1}=0,5u_n+100$ pour $n=1$ cette fois. On obtient alors :
$u_{1+1}=0,5u_1+100 \\ u_{2}=0,5u_1+100 \\ \qquad =0,5\times 275+100 \\ \qquad =237,5$


2. On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n=u_n-200$.

a. Montrer que la suite $(w_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

Relire la méthode : Montrer qu’une suite est géométrique.

Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$w_{n+1}=u_{n+1}-200$ d’après l’énoncé
$\qquad=(0,5u_n+100)-200$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression
$\qquad=0,5u_n-100$
$\qquad =0,5\times (u_n-200)$ en factorisant par 0,5
$\qquad =0,5\times w_n$
Par ailleurs, $w_0=u_0-200=150$ donc $(w_n)$ est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme 150.

b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n, u_n=200+150\times 0,5^n$.

Relire la méthode : Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique .

Voir la solution

D’après la question précédente, $(w_n)$ est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme 150.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $w_n=150\times 0,5^n$.
Comme, d’après l’énoncé, $w_n=u_n-200$ alors $u_n=200+w_n=200+150\times 0,5^n$.

Partie B
Une commune propose aux enfants d’adhérer à une association sportive. Au premier septembre 2015 le nombre d’enfants inscrits dans cette association est 500 dont 350 filles.
Les statistiques relatives aux années précédentes nous amènent, pour l’évolution du nombre d’adhérents lors des prochaines années à la modélisation suivante :

  • Chaque année, la moitié des filles inscrites l’année précédente ne renouvellent pas leur inscription ; par ailleurs l’association accueille chaque année 100 nouvelles filles.
  • D’une année à l’autre, le nombre de garçons inscrits à l’association augmente de 10 %.


1. On représente l’évolution du nombre de filles inscrites dans ce club par une suite $(F_n)$ où $F_n$ désigne le nombre de filles adhérentes à l’association en l’année $2015+n$. On a donc $F_0=50$.
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $F_{n+1}$ en fonction de $F_n$.

Relire la méthode : Traduire un énoncé par une relation de récurrence.

Voir la solution

D’après l’énoncé, « Chaque année, la moitié des filles inscrites l’année précédente ne renouvellent pas leur inscription ; par ailleurs l’association accueille chaque année 100 nouvelles filles ».
Autrement dit, « le nombre de filles l’année suivante est la moitié du nombre de filles de l’année précédente plus 100 ».
Cela se traduit mathématiquement par $F_{n+1}=\frac{F_n}{2}+100$ (pour tout entier naturel $n$) ou encore $F_{n+1}=0,5\times F_n+100$. (On rappelle que diviser par 2 revient à multiplier par 0,5).


2. On représente l’évolution du nombre de garçons inscrits dans ce club par une suite $(G_n)$, où $G_n$ désigne le nombre de garçons adhérents à l’association l’année $2015+n$.

a. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $G_{n}$ en fonction de $n$.

Relire les méthodes : Appliquer un pourcentage d’évolution puis Traduire un énoncé par une relation de récurrence et enfin Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique .

Voir la solution

D’après l’énoncé, « D’une année à l’autre, le nombre de garçons inscrits à l’association augmente de 10 %».
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $G_{n+1}=1,1\times G_n$.
$(G_n)$ est donc une suite géométrique de raison $1,1$ et de premier terme $G_0=500-350=150$.
D’après le cours, pour tout entier naturel $n$, $G_n=150\times 1,1^n$.

b. À partir de quelle année le club comptera-t-il plus de 300 garçons ?

Relire la méthode : Déterminer un rang sous condition.

Voir la solution

Il s’agit de déterminer $n$ tel que $G_n>300$.
$G_n>300 \Leftrightarrow 150\times 1,1^n>300 \\ \qquad \Leftrightarrow 1,1^n>\frac{300}{150} \\ \qquad \Leftrightarrow 1,1^n>2 \\ \qquad \Leftrightarrow \ln\left(1,1^n\right)>\ln(2) \\ \qquad \Leftrightarrow n\times \ln(1,1)>\ln(2) \\ \qquad \Leftrightarrow n>\frac{ln(2)}{ln(1,1)}\\$
Comme $\frac{ln(2)}{ln(1,1)} \approx 7,3$ alors c’est à partir de $n=8$, c’est à dire 2023 ($2015+8$), que le club comptera plus de 300 garçons.


3. On souhaite savoir à partir de quelle année le nombre de garçons, dans cette association, va dépasser celui des filles. On propose l’algorithme suivant :

INITIALISATION
Affecter à n la valeur 0
Affecter à G la valeur 150
Affecter à F la valeur 350

TRAITEMENT
Tant que G⩽F
  n prend la valeur n+1
  G prend la valeur 1,1G
  F prend la valeur 0,5F+100
Fin tant que

SORTIE
Afficher le nombre n

a. Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l’unité.

Valeur de n 0 1 ...
Valeur de G 150 ... ...
Valeur de F 350 ... ...
Condition G⩽F vraie ... ...

Relire la méthode : Faire "tourner" un algorithme.

Voir la solution

Exécutons pas à pas cet algorithme.

$n=0 \\ G=150 \\ F=350$
La condition $G⩽F$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=1 \\ G=1,1 \times 150=165 \\ F=0,5\times 350+100=275$
La condition $G⩽F$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=2 \\ G=1,1 \times 165\approx 182 \\ F=0,5\times 275+100\approx 238$
La condition $G⩽F$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=3 \\ G\approx 1,1 \times 182\approx 200 \\ F\approx 0,5\times 238+100\approx 219$
La condition $G⩽F$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=4 \\ G\approx 1,1 \times 200\approx 220\\ F\approx 0,5\times 219+100\approx 209$
La condition $G⩽F$ est fausse, on sort du "Tant que".
On affiche $n=4$.

Il suffit maintenant de compléter le tableau en écrivant les valeurs rencontrées en cours d’exécution :

Valeur de n 0 1 2 3 4
Valeur de G 150 165 182 200 220
Valeur de F 350 275 238 219 209
Condition G⩽F vraie vraie vraie vraie fausse

b. En déduire l’affichage obtenu, puis répondre au problème posé.

Voir la solution

L’affichage obtenu est 4 (question précédente) donc c’est à partir de 2019 ($2015+4$) que le nombre de garçons va dépasser le nombre de filles.

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