Sujet 0, 2020 - Exercice 3

Une compagnie d’assurance auto propose deux types de contrat :
– un contrat « Tous risques » dont le montant annuel est de 500 € ;
– un contrat « de base » dont le montant annuel est de 400 €.

En consultant le fichier clients de la compagnie, on recueille les données suivantes :
– 60% des clients possèdent un véhicule récent (moins de 5 ans). Les autres clients ont un véhicule ancien ;
– parmi les clients possédant un véhicule récent, 70% ont souscrit au contrat « Tous risques » ;
– parmi les clients possédant un véhicule ancien, 50% ont souscrit au contrat « Tous risques ».

On considère un client choisi au hasard.
D’une manière générale, la probabilité d’un événement $A$ est notée $P(A)$ et son événement contraire est noté $\bar{A}$.
On note les événements suivants :
• $R$ : « le client possède un véhicule récent » ;
• $T$ : « le client a souscrit au contrat « Tous risques ».
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le montant du contrat souscrit par un client.

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré de probabilité traduisant les données de l’exercice.

Relire les méthodes : Traduire un texte dans le langage des probabilités et Construire un arbre pondéré.

Voir la solution

D’après l’énoncé, $P(R)=60\%=0,6$. De plus, $P_R(T)=70\%=0,7$ et $P_\bar{R}(T)=50\%=0,5$.
D’où l’arbre suivant :

2. Calculer la probabilité qu’un client pris au hasard possède un véhicule récent et ait souscrit au contrat « Tous risques », c’est-à-dire calculer $P(R \cap{T})$.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

3. Montrer que $P(T)=0,62$.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités totales.

4. La variable aléatoire $X$ ne prend que deux valeurs $a$ et $b$. Déterminer ces deux valeurs, les probabilités $P(X=a)$ et $P(X=b)$, puis l’espérance de $X$.

Relire les méthodes : Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire et Calculer l’espérance d’une variable aléatoire.